Jouons avec les aiguilles
écrit par Origami le 16 Juin 2005
Tout est partit d'une question de Zippo :
Tout le monde sait que les aiguilles d'une montre sont superposées à 12 Heures mais à quelle heure exacte vont-elles se superposer de nouveau après 1 heure, 2 heures etc... :-)
La réponse d'Origami. [ note : réponse complétée et mise à jour suite à un redémarrage de mon cerveau ]
En comptant midi, il y a 11 cas pour lesquels les 2 aiguilles sont superposées.
Et comme l'interval est toujours le même, cet interval vaut 12/11 = 1,0909090909090909090909090909091
Si on prends la calculatrice (ou Excel), et qu'on traduit ça en heures/minutes/secondes, on obtient 1,0527272727272727272727272727273, soit 1 heure, 5 minutes et 27,2727 secondes.
Note : J'avais trouvé comment faire les calculs avec la calculatrice Windows, mais je n'arrive plus à le retrouver. Le plus simple est de faire les calculs avec Excel.
On aura donc les 2 aiguilles des heures et des minutes superposées aux heures suivantes :
12:00:00
01:05:27,27
02:10:54,55
03:16:21,82
04:21:49,09
05:27:16,36
06:32:43,64
07:38:10,91
08:43:38,18
09:49:05,45
10:54:32,73
Et hop, retour à midi. On a donc les 11 valeurs.De la même façon, on peut chercher dans quel cas les aiguilles sont alignées, de part et d'autre de l'axe central.
C'est le cas à 18:00:00.
En utilisant le même principe, on trouve :
06:00:00
07:05:27,27
08:10:54,55
09:16:21,82
10:21:49,09
11:27:16,36
12:32:43,64
01:38:10,91
02:43:38,18
03:49:05,45
04:54:32,73
Et hop, retour à 06:00.On peut aussi s'amuser à regarder quand les aiguilles sont à angle droit. Les cas initiaux sont :
- à 03:00:00
- à 09:00:00En utilisant toujours le même principe, on trouve :
03:00:00
04:05:27,27
05:10:54,55
06:16:21,82
07:21:49,09
08:27:16,36
09:32:43,64
10:38:10,91
11:43:38,18
12:49:05,45
01:54:32,73
Et hop, retour à 03:00:00.et
09:00:00
10:05:27,27
11:10:54,55
12:16:21,82
01:21:49,09
02:27:16,36
03:32:43,64
04:38:10,91
05:43:38,18
06:49:05,45
07:54:32,73
Et hop, retour à 09:00:00.Enfin, et c'est un peu plus compliqué, on peut regarder quand les aiguilles sont symétriques par rapport à l'axe vertical, et par rapport à l'axe horizontal.
Aiguilles symétriques par rapport à la verticale.
La première position est à midi. Ensuite, la position suivante se trouve vers les 12h55. On remarque que dans les cas ci-dessus, il fallait ajouter une valeur supérieure à 1 heure. Alors que là, il faut plutôt ajouter 55 minutes.
Ne me demandez pas pourquoi, mais dans le cas d'aiguilles symétriques, l'interval entre 2 cas est de 12/13 = 0,92307692307692307692307692307692. Soit, converti en Heures/Minutes/Secondes (touche 'dms' sur la calculatrice scientifique de Windows) 0,55230769230769230769230769230769, soit encore 0 heure, 55 minutes et 23 secondes.
Donc, on aura les aiguilles symétriques par rapport à l'axe vertical aux horaires suivants :
12:00:00
12:55:23
01:50:46
02:46:09
03:41:32
04:36:55
05:32:18
06:27:41
07:23:05
08:18:28
09:13:51
10:09:14
11:04:37
Et hop, retour à 12:00:00. On a donc bien les 13 heures différentes.Pour les aiguilles symétriques par rapport à l'axe horizontal, l'heure de départ sera 06:00:00.
On aura donc :
06:00:00
06:55:23
07:50:46
08:46:09
09:41:32
10:36:55
11:32:18
12:27:41
01:23:05
02:18:28
03:13:51
04:09:14
05:04:37
Et hop, retour à 06:00:00.
Voilà, je pense qu'on a passé en revue tous les cas "intéressants" du point de vue visuel.Maintenant, si on trie tout ça, on obtient le tableau suivant :
12:00:00 12:16:22 12:27:41 12:32:44 12:49:05 12:55:23 01:05:27 01:21:49 01:23:05 01:38:11 01:50:46 01:54:33 02:10:55 02:18:28 02:27:16 02:43:38 02:46:09 03:00:00 03:13:51 03:16:22 03:32:44 03:41:32 03:49:05 04:05:27 04:09:14 04:21:49 04:36:55 04:38:10 04:54:33 05:04:37 05:10:55 05:27:16 05:32:18 05:43:38 06:00:00 06:16:22 06:27:41 06:32:44 06:49:05 06:55:23 07:05:27 07:21:49 07:23:05 07:38:11 07:50:46 07:54:33 08:10:55 08:18:28 08:27:16 08:43:38 08:46:09 09:00:00 09:13:51 09:16:22 09:32:44 09:41:32 09:49:05 10:05:27 10:09:14 10:21:49 10:36:55 10:38:10 10:54:33 11:04:37 11:10:55 11:27:16 11:32:18 11:43:38 Explications :
AD : Aiguilles à Angle Droit
AH : symétrie sur Axe Horizontal
AL : Aiguilles Alignées
AV : symétrie sur Axe Vertical
Su : Aiguilles supperposées
Attente : Durée d'attente entre 2 évenements.On voit donc que le fameux 10h10, position des aiguilles sur la grande majorité des photos de montres, correspond en fait à 10 heures, 9 minutes, et 14 secondes.
Du moins, si l'on veut que les aiguilles soient bien symétriques !Origami (qui n'a vraiment rien d'autre à foutre !)
La réponse de Zippo :
Je ne pensais pas que ma petite question aurait autant d'intéret. Bravo pour la réponse. C'est un problème que mon père a du traiter au certificat d'études en 1926. Près de 80 ans plus tard, il s'en souvient toujours.
Le 29 Octobre 2005, Adrien nous répondais alors de façon plus mathématique
Je n'ai pas retrouvé dans les archives mais j'ai tenté un calcul... je ne sais pas s'il est correct mais le résultat a l'air cohérent :
Soit m l'aiguille des minutes et h l'aiguille des heures, on a donc Vh pour vitesse horaire des heures et Vm pour les minutes. Mon unité sera la minute.
On a donc :
en 1 heure, m parcourt un tour complet soit 360°, h parcourt 1/12ème du cadran soit 360°/12 = 30°
On obtient les vitesses
Vm = 360°/60min = 6°/min
Vh = 30° / 60min = 0.5°/min
à 10h00, h est sur 10 heures, soit à 60° du repère 12 heures, et m est sur le repère 12 heures. Pour qu'on obtienne la symétrie des aiguilles h et m par rapport à l'axe 12-6, il faut que l'angle parcouru par m (compris entre repère 12 et position de m) soit égal à l'angle compris la position h et le repère 12.
à cet instant t, m aura parcouru une distance Dm et h une distance Dh.
Pour obtenir la symétrie (faire un dessin) il faut que:
60° - Dh = Dm
ou encore
60° - (Vh.t) = (Vm.t) donc 60° = (Vm.t) + (Vh.t)
donc 60° = t.(Vm + Vh)
donc t = 60° / (Vm + Vh) = 60° / (6 + 0.5) = 60° / 6.5
par conséquent t = 9.23076...minutes
il devrait y avoir symétrie à 10 heures et 9 minutes et 14 secondes 256 millièmes.
Très utiles pour régler vos montres sur les prochaines photos si vous êtes pointilleux....
à bientôt
adrien [ avec l'aide de Gilles de Grenoble qui a corrigé une erreur de calcul ]
[ Post_Scriptum, par Origami ]
En faisant une recherche sur Internet, j'ai trouvé cette énigme mathématique intéressante :
N° 24 - Heure exacte Proposée par : Michel GAYDIER
Ma montre est équipée de 3 aiguilles, montées sur un même axe. L'aiguille des heures mesure 9 mm et fait un tour en 12 heures, l'aiguille des minutes mesure 2 cm et fait un tour en 1 heure, la trotteuse mesure également 2 cm et fait un tour en 1 mn.
A midi pile, les trois aiguilles sont, comme il se doit, strictement alignées.
A quelle heure les extrémités des trois aiguilles seront-elles à nouveau alignées pour la première fois ?
Je laisse aux amateurs de jeux logique, et de trigonométrie trouver la réponse...
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